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#数学系炉石专业毕业论文#第四章随机与风险

xumeng0032021-01-3030

作为一款处处体现着随机性的游戏,关于《炉石传说》中概率与随机的讨论从未停止过,曾经在中美对抗赛中大放异彩的清华大学数学系博士“朝神”@张昭君该昵称已经被占用 日前为我们带来了关于如何从数学角度看待《炉石传说》的文章,一起来看看吧!



第四章 随机与风险


炉石里面有大量随机的卡牌,希尔瓦娜斯、秘法宝典、尤格萨隆、连环爆裂、闪电风暴、砰砰博士、25仔、绝命乱斗、火妖等等(我好像应该去第一篇文章里面复制粘贴)。这些随机卡牌随机事件严重的影响着游戏的走向。

这里,我想先介绍一下风险的概念。风险的意思是说…… 额…… 当我没说,我想大家应该都知道风险是什么意思(机智如我),我们的生活中无时无刻不存在着风险,喝水呛死。吃饭噎死。听我讲笑话冷死啊等等……经济学里一般假设人们是厌恶风险的,所以我们会选择规避风险,也就是买保险。几乎所有人都买过保险,比如医保,在规避风险时,通常会付出一些代价,其实就是降低了你的期望收益。举个栗子就是闯关游戏,赢了奖金翻倍,输了一无所得,当面临这种选择时,一个理性的风险厌恶人在他预估自己下关胜率只有50甚至不到50时,他就会选择退出,而且,当预估自己胜率只有51或者53时,他也可能会选择退出,这就是之前所说的代价,因为这时继续闯关的期望收益是大于退出直接拿奖金的,但是这个期望收益大于一定程度时,例如他预感自己胜率可以有60甚至更高,这时他就可能会继续闯关,但是这个临界值因人而异,取决于风险厌恶的程度。

然而,生活上还存在大量风险偏好的栗子,赌博、赌球、彩票等等。一般人们可以接受小额度的风险,然后从中得到那种刺激感之类的,其实我觉得可以理解成花钱买享受,这跟花钱看电影看球类似。除掉愿意支付的“门票”钱,也许还是一个风险厌恶的栗子(能体现我想法的例子就是花钱去棋牌室打麻将,当然这个只是我个人理解,我怕丢清华经管的脸。 好吧,请容许我劝赌,如果你是个风险厌恶者,请远离赌博,特别是网上那种愚蠢的赌球。一个公平的赌博,各项赔率的倒数之和应该是一,然而一般的赌博都不是一,如果赔率固定那么剩余的部分是庄家抽成,你大概可以算算你参与赌博的佣金是多少,如果赌博的周期较长 最好用无风险利率折现一下,当然现在一般不会是固定赔率,特别是赌球,这会使得赌博公司暴露在风险中,正常的都会根据下注情况来调节赔率,使得整个赌博无论结果如何都能稳赚不赔。如果你自信你是懂球帝,比别人多小道消息,那一般而言你也天真了(如果你真牛逼 请原谅我的钛合金狗眼),经济学通常认为价格已经反应了所有的市场信息,股市也是如此。

回到炉石里面,我们可以看到其实整个游戏都充满了风险厌恶的设计,不稳定的传送门风险用1点费用来弥补,奥术飞弹的风险用一点伤害来弥补,连环爆裂的风险用更高的伤害和过载来弥补,但是如果身材费用伤害都不能弥补随机性带来的风险,那么这张卡只能堆在角落灰尘像雪一样冰冻,比如虚空碾压者。

炉石为什么是一个风险厌恶的游戏,很简单的例子就是控场萨。因为这个游戏的返场手段一般来自于aoe,所以控场萨不得不带上闪电风暴,当对面把场铺开时,你就得开始不停的声控,法伤法伤!电三电三!*了个*!玩**的控场萨! 在关键时刻你不能允许闪电风暴只电了7-3的法力浮龙2血,特别是你没法完成补刀。再举个荔枝就是连环爆裂,2费过载1随机打3到6,平均打4.5。对于一个2费过载1的法术的确不错,但是这张卡当年可是被喷出翔了,当你对着4血的碧蓝幼龙只点3血后,你又要浪费几个G的流量,因为你实在无法承受随机性带来的风险。电3意味着输到这把游戏,说不定因此损失了一辆法拉利,但是如果你对这张卡的期望只是电3时,你不如使用闪电箭或石化武器。但是这张卡在打脸萨得到了重用,因为如果你拿它来电脸时,它的高期望得到了最好的应用,如果拿公司经营来比喻,你拿连环爆裂电脸,如果不是最后一回合,电四可能是收益平衡,电三是有点小亏损,但是电怪的情景,有时候电的伤害不够高,那结果就是倒闭,但是即使电6了你也没有获得更多的收益,那这种破产率这么高又没有高额回报期望的公司连风投都看不上,总结一下就是,炉石中往往风险承受能力较低却难以从溢出伤害中获利使得随机性带来很差的体验。

不过这并不意味着我们不要使用随机性的卡牌,假如法师有张4费随机造成6到10点伤害 那么它的优先级肯定高于火球了。大家肯定觉得我夸张,但是炉石里曾经的确有一张类似的牌叫砰砰博士。不可否认,炉石有大量非常优秀的随机性卡牌,其实很好理解,例如奥术飞弹:随机造成3点伤害。如果这是张两费的牌肯定不值,如果是一费又很强,但是炉石里不会把它设成1.414费,也不会设成随机造成2.333点伤害(这其实可以用风险偏好曲线定费 虽然我是瞎写的),结果就是奥术飞弹是张好卡。就像奥术飞弹一样,随机卡牌的风险补偿很难用整数值定费,造成了随机卡牌质量的良莠不齐。

既然炉石有如此多的随机,风险管理就极其重要。同样的场面,同样的手牌,有些人可以做到75%概率解场,有些人却只有25%,除非涉及到收割机传送门之类的牌,其他的概率都较好计算。场面生物较多,火妖机关枪等随机伤害点数较高时,计算量会很大,但是,算好概率是打好炉石非常重要的一步,虽然很多玩家凭感觉可以打出最优解,对于那种选择50%八二开,50%一九开还是保持四六开就另当别论看个人斟酌。不过我们之前在炉论二里说过。最优解一般而言是唯一的。

还有一点想说的是,即使是0概率的事件也会发生(不过这在炉石里不可能),所以我们不能以结果定英雄。有的人打的巨臭无比却能一路获胜晋级,有的人打的无懈可击却败给了运气只能默默含泪逃跑,阿根廷无冠不能否认梅西在国家队上的成就,飞机安全抵达不能抱怨白买了那份保险,原油价格上涨不能因为白花了几个亿就把买看跌期权的人给咔嚓了。

常常有人问我,比赛该带什么卡组,我一般还是建议带厉害的卡组,也就是毒瘤。虽然我很喜欢去抓某个职业,但经验告诉我这不靠谱。

现在我们假设这样一个模型,一局炉石双方的卡组抓牌还有各种随机事件等等我们可以有一个评分。对局的胜负取决于双方的评分,高者胜,低者负,这里忽略了不常见的平局。大家应该都知道中心极限定理,最简单的就是一个随机变量的独立试验之和会趋于正态分布。当有很多乱七八糟的事件叠加时,这个分布往往也会趋于正态分布。所以,我们假设之前所谓的评分服从正态分布N(mu,sigma平方) mu是均值,我们认为一套牌的强度越高,玩家水平越强,mu的值就越大,sigma是标准差。根据我的经验,一套牌曲线分布越不均匀,随机卡牌越多,过牌越少,玩家打法越激进,那么sigma的值就会越大。

现在我们设两个玩家的评分独立地服从正态分布N(mu1,sigma1平方)和N(mu2,sigma2平方)然后我们来计算双方的胜率:

这里,最后的函数phi是正态分布的分布函数,自然是递增的。在0的值为0.5 此外,由于正态的对称性有phi(x)+phi(-x)=1。

假设mu1小于mu2 可能是玩家1的水平会小于玩家2 ,根据结果我们可以看到玩家1的胜率是小于0.5的,也就是说无论如何,强者的胜率会高于0.5 而弱者胜率会低于0.5 。若玩家2的mu2和sigma2给定,作为弱势一方的玩家1肯定是想办法增加上面的函数值,首先是想办法提高mu1 比如提高自己水平用强度高的卡组啊,然后还可以提高sigma1 多使用随机性的卡牌,采用激进的打法啊等等。这个也很好理解,弱者巴不得游戏变成掷骰子比大小,像当年奇迹贼横行时,铸甲师乱斗解加基森隐藏强行把游戏变成五五开。若玩家1的mu1和sigma1给定,玩家2想办法提高自己的胜率或者说降低对方的胜率,那就是提高自己的mu2或者降低自己的sigma2。

我们可以看到,在上面那个模型中,炉石游戏或者比赛中,强者是希望降低自己的方差,也就是降低随机性,求稳的。但是弱者是希望提高自己的方差,希望利用随机性来减小双方的差距,希望这个结果对大家有指导意义。

要补充的是,上述结果建立在我的大量假设的模型之上,所以不一定正确。其次,如果正确 按照我的结果选择卡组也可能只能提高你一点点的胜率,输了请不要找我算账 。

最后,对于概率与随机还想说一点,运气好坏是常有的,你可以认为随机就是五五开,但是五五开不是说一半时候运气好一半时候运气差,这不是随机,随机是大部分的人一半时候运气好一半时候运气差,小部分的人大多运气好偶尔运气差或者反过来,还有极端几个一直运气好或者一直运气差。之前运气好不代表之后会运气差,之前运气差不代表以后会转运,败不败人品不会影响你的运气,上个月天梯我就经历过对尤格萨隆的绝望,对面上萨隆我必输 我上萨隆我还是输,但这并不意味着什么,炉石还是那个炉石,我也不会因此不玩炉石。

最后,感谢大家对我的厚爱。我只是一个普通的炉石爱好者,炉石打的不好看直播时嘴下留情,也曾幻想拿世锦赛冠军,可惜预选赛那天整整吐了一天,浑浑噩噩的就输了比赛从此再也没那么好的机会了。写这些东西本意是想在心爱的炉石中留下点自己的痕迹,我想就到此为止吧。

其实还有很多很多东西想说,也就懒得说了,反正大家这么厉害,不需要一个菜鸡来指指点点,所以应该是最后一篇,希望大家喜欢这四篇文章。如果你能学到什么,也就不枉费我那么多时间和精力。



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